İSPAT

Olmayana ergi yöntemini kullanarak ...'nin irrasyonel olduğunu ispatlayalım.

...'nin rasyonel bir sayı olduğunu varsayalım.

Rasyonel sayının tanımına ve yaptığımız varsayıma göre, tam sayılar kümesinde

...

eşitliğini sağlayan, aralarında asal ... ve ... gibi iki sayı bulunmaktadır.

Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafının da karesini alırsak, ... ile ... arasında aşağıdaki ilişkiyi buluruz.

...

...

Bu ilişkiden ...'nin çift sayı olduğu sonucuna varabiliriz. Çünkü ..., 2 ile bir tam sayının çarpımına eşittir. Başka bir değişle, ...'nin çarpanlarından biri 2'dir. Ayrıca ... bir tam kare olduğu için, çarpanlarına ayrıldığında 2'nin kuvvetinin en az 2'ye eşit olması gerekir. Bu nedenle, yalnız ... değil, aynı zamanda ... da bir çift sayı olmalıdır.

Çift olduğu için ...'yı bir tam sayı ile 2'nin çarpımı şeklinde yazabiliriz. ... bir tam sayı olmak üzere, ... yerine

...

yazarsak,

...

...

eşitliğini elde ederiz. ... gibi, ...'nin de bir tam sayı ile 2'nin çarpımı olduğunu görüyoruz.

... için takip ettiğimiz adımları, ... için uygularsak, ...'nin de bir çift sayı olduğunu görebiliriz. Hem ... hem de ... çift sayı olduğuna göre aralarında asal olamazlar. Dolayısıyla ...'yi

...

formunda yazabileceğimiz aralarında asal ... ve ... tam sayıları bulunmamaktadır. Bu nedenle ... rasyonel bir sayı değildir.